亨利·庞加莱回归（Poincaré return），又称庞加莱复现（Poincaré recurrence），是由法国数学家庞加莱于1890年论述的力学体系运动可复性的定理。庞加莱回归是指任何粒子在经过一个漫长的时间之后必然能回到其无限接近其初始位置的位置（但是不能回到原来位置，只能无限接近）。尽管这个时间的长度远远超出了我们的想象，但是它必然会实现。
自然界微观粒子的随机运动与熵增原理相关，热力学第二定律指出孤立系统熵恒增加，易引发“热寂论”，詹姆斯·麦克斯韦等人曾提出质疑，玻耳兹曼H定理则断定非平衡态单调趋向平衡；而19世纪末亨利·庞加莱研究表明，孤立有限系统（如封闭容器内气体）会无限次任意接近初始状态，即“庞加莱回归”，其回归时间虽远超宇宙寿命，但必然发生，这看似与H定理矛盾；路德维希·玻尔兹曼解释称H定理具统计性，平衡态趋向非平衡态几率极小，二者可相容；1896年策尔梅洛曾研究其可复性。
2018年，奥地利研究人员在多粒子量子系统中演示了庞加莱回归，证实量子版本定理，即有限粒子数量子体系足够长时间后会回归初始状态附近，这意味着宇宙可能存在漫长轮回。
发现历史
自然界的微观粒子无时无刻不在进行着随机运动，并在运动中消耗能量，根据热力学第二定律，孤立系统的熵恒增加，是说大的动态系统不可逆地向更高的熵的状态发展，所以如果从一个低熵的状态出发，系统永远不会返回到它。但熵增原理的一个最大的问题是会导致令人绝望的“热寂论”。1871年开始，詹姆斯·麦克斯韦等人陆续对该定律提出质疑。1872年，L.路德维希·玻尔兹曼在他的气体理论一文中证明了一个重要的定理——H定理。H定理断定：一个处于非平衡态的系统总是要单调地趋向平衡；而一个已经达到平衡的系统再自动地趋向非平衡是不可能的。
19世纪末，亨利·庞加莱研究了无法以完美精度全面分析的系统，例如由许多行星和小行星组成的太阳系，或者是保持相互碰撞的气体粒子。他的研究表明：每个物理上可能的状态都会在某一时刻被系统占有（至少是非常地接近）。如果等的足够久，在某个时刻，所有的行星将会形成一条直线，如同巧合一样。盒子中的气体粒子将会形成有趣的图案，或者返回实验开始时它们所处的状态。庞加莱回归指的是一个孤立而有限的系统在演化过程中，会无限次任意接近自己的初始状态，即有限系统的轮回；尽管这个时间的长度远远超出我们所能想的，但是它必然会实现，这样一个周期就称为一个庞加莱回归。该理论可应用于能量封闭在其中的系统；庞加莱回归是现代混沌理论的基础。
1890年亨利·庞加莱证明了下述定理：系统的Γ相空间（见相宇）中除了一个测度为零的点集以外，对于任意给定的一个从相空间中任一有界区域P出发，以在t=0时使系统从P中任一点P′出发，对任意小的距离ε>0，都存在一个有限的时间t（ε），在这时间间隔内，系统必经相空间的一点P′′，而∣P′P′′∣<ε。
由此定理可以看出运动的可复性。因为从中可以得到结论：放在封闭容器内的任意一个初始状态经过足够长的时间后，总要回复到任意接近初始状态的那个状态上。由此可见，当H函数随时间单调地减少以后，只要经过足够长的时间，它将回复到初始的数值。这个结论似乎同宏观不可逆性相抵触，同玻耳兹曼H定理相矛盾。
路德维希·玻尔兹曼对上述矛盾作了明确的回答：H定理具有统计的性质，它只是说非平衡态以绝对优势的几率趋向平衡态，没有完全否定由平衡态趋向非平衡态的可能性，并不完全排斥H的值偶然增加，运动回复到原状，只是几率极其微小，因此反映统计规律的宏观不可逆性同微观可逆性并不矛盾。亨利·庞加莱定理虽然明力学系统经过充分长的时间后总可以回复到初始状态附近，但是，根据庞加莱的证明，对于一般的气体或液体，若单位体积含有的粒子数为1023的数量级，那么回复时间的数量级约为101023秒，它比迄今知道的宇宙寿命还要大很多的数量级，比趋向平衡的时间大得简直不可估量，对所有宏观物体来说，实际上可以看作是无穷大。于是得出结论：从熵小的状态走向熵大的状态几乎是必然的；而从熵大的状态走向熵小的状态几乎是不可能的。玻耳兹曼H定理和庞加莱定理可以相容。
1896年E.策尔梅洛就根据J.-H.庞加莱定理研究了运动的可复性问题。科学家们一直都在研究如何将这个理论应用于量子力学世界，但只在非常少量的粒子上进行了演示，这些粒子的状态可以被尽可能精准地测量。这一过程极度复杂，而且将系统带回到其初始状态的时间，随着粒子数量的增加而显著增加。干涉图样中也可以发现“庞加莱回归”，经过一段时间，它将回归初始的平行图案。2018年3月，维也纳工业大学的研究人员成功地在多粒子量子系统中，演示了“庞加莱回归”，研究成果发表于《科学》杂志。这证明了庞加莱回归定理的量子力学版本是：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。庞加莱回归意味着历史的重演，宇宙万物存在着漫长的轮回过程。
庞加莱回归定理
亨利·庞加莱回归定理是庞加莱在遍历理论的第一个定理，他研究了下列方程：
，（1）
其中，为开集，且：
1、对∀p∈U，（1）以p为初值的解x（p，⋅）：R→U存在。
2、记，则
3、U的勒贝格测度有限。
亨利·庞加莱发现，对依勒贝格意义下的几乎所有p∈U，有
由此导致他证明了下述庞加莱回归定理：设T为概率空间上的保测变换，对任意，令，且存在无限多个n∈Z+，使则。根据上述定理，当X为可分度量空间，为其波莱尔σ代数时，则，即几乎所有点都是回归的。
发现者简介
亨利·庞加莱（Jule-Henri Poincaré1854～1912）是法国数学家、物理学家和天文学家。他1871年入巴黎工艺学院，后就读矿业学院，1879年获数学博士学位，此后历任卡昂大学、巴黎大学教授，当选巴黎科学院院士及院长、法国科学院院士。
庞加莱研究领域广泛，数学上在自守函数、数论、代数、几何学、拓扑学、概率论、数学分析等多分支有开创性工作，是19世纪后期数学界权威之一，也是现代直觉主义先驱；天文学上论证了旋转流体平衡图形、太阳系稳定性与起源，在三体问题研究中发展了天体力学计算技术；物理学上执教20余年，研究三维连续区、导热等问题，论证狄利克雷问题。
在19、20世纪之交物理学危机时，他提出危机是变革先兆，主张基于新实验改造物理学，肯定经典理论价值。他推动了物理学多领域发展，是相对论先驱，还在索尔维会议后深入研究量子论，提出“时间原子”思想。
亨利·庞加莱著有《科学与假设》《科学的价值》《科学与方法》等科学哲学著作，是约定论创始人，其哲学观点受伊曼努尔·康德、恩斯特·马赫影响，在科学研究中坚持经验论，论述了假设、直觉和科学美在科学发现中的作用，对阿尔伯特·爱因斯坦等科学家产生影响。